La congettura di Goldbach

Dopo aver conosciuto i numeri primi, la maestra Cristina ci ha proposto la storia di un matematico che, grazie ad essi, ha inventato un problema molto particolare!

Christian Goldbach era un matematico del 1700. Viveva in Germania ed era amico di un altro matematico che avevamo già conosciuto l'anno scorso: Leonhard Eulero (il matematico che...NON ha risolto il problema dei ponti di Königsberg...perché ha scoperto che questo è un problema IMPOSSIBILE!). Pensate: Goldbach era nato proprio nella città di Königsberg!

Ma torniamo al nostro Christian Goldbach! Egli si divertiva ad inventare problemi ed enigmi logici che poi risolveva. Ma un giorno ne inventò uno che...sembrava semplicissimo da risolvere, ma non riusciva proprio a dimostrare!

 

Un po' di tempo fa, quando abbiamo parlato dei problemi, la maestra Cristina ci ha detto che in matematica non è solo importante arrivare alla soluzione di un problema, ma anche dare una DIMOSTRAZIONE, cioè spiegare a tutti perché il risultato o la risposta che abbiamo dato sono quelli giusti! Dobbiamo cioè convincere gli altri di essere arrivati alla giusta soluzione.

E' per questo che quando facciamo i problemi in gruppo la maestra ci chiede sempre di motivare la nostra risposta o di dimostrarla con un disegno, uno schema, un ragionamento logico...

Ecco, il nostro Goldbach aveva trovato una soluzione che gli sembrava accettabile, che sembrava funzionare sempre... Però non aveva trovato la dimostrazione, cioè il ragionamento logico che facesse capire a tutti: "questa idea funziona"!

 

Triste e un po' confuso, Goldbach scrisse una lettera al suo amico Eulero, grande matematico del tempo, per farsi aiutare a trovare una dimostrazione accettabile al suo problema. In quella lettera scrisse l'enunciato (cioè il testo, la spiegazione) del suo problema:

  

“Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto

come la somma di due numeri primi.”

 

Eulero, come aveva già fatto Goldbach, fece alcuni tentativi e si accorse che questo enunciato sembrava vero, cioè funzionava tutte le volte che provava. Ma nemmeno lui riuscì a dare una dimostrazione che potesse convincere tutti i matematici della verità assoluta di questo problema!

In matematica, infatti, non basta fare dei tentativi. Anche se provo mille volte, c’è sempre la possibilità che riesca a trovare un numero per cui la regola non funzioni. Per dare una dimostrazione, occorre trovare una spiegazione che valga sempre, cioè che renda evidente che l’enunciato è valido, anche senza fare per forza dei tentativi.

 

Quando avevamo parlato dei problemi, avevamo detto che in matematica i problemi vengono suddivisi in 4 principali categorie:

 

 

Ecco, fino ad oggi nessun matematico è stato ancora in grado di dimostrare l'enunciato di Christian Goldbach. Perciò esso viene chiamato proprio “CONGETTURA di Goldbach”.

Nessuno finora è ancora riuscito a spiegare perché ogni numero pari maggiore di 2 (e questi numeri sono infiniti, perciò sarebbe impossibile controllarli  proprio tutti!) deve poter essere scritto come una somma di due numeri primi. Ma al tempo stesso nessuno finora è riuscito a trovare un numero pari maggiore di 2 che non sia la somma di due numeri primi!

E' proprio un BEL problema! Sicuramente molto curioso e interessante!
Ci è venuta voglia di provare a dimostrarlo...ma non siamo ancora dei veri matematici e non sappiamo come fare! Perciò la maestra Cristina ci ha proposto di provare soltanto a verificare che l'ipotesi fatta da Goldbach fosse vera, facendo dei tentativi.

Ci siamo organizzati a coppie e abbiamo provato a comporre i numeri pari maggiori di due con una somma di due numeri primi. Abbiamo provato, fin dove siamo riusciti ad arrivare! Ci siamo aiutati con lo schema del Crivello di Eratostene, per ricordarci i numeri primi da poter utilizzare. Ecco i nostri tentativi.

E' interessante notare che alcuni numeri possono essere composti in vari modi, utilizzando coppie di numeri primi diverse. Se si guardano le pagine di gruppi diversi, infatti, si nota che alcuni numeri sono stati composti in diverso modo.

Dopo questo lavoro, abbiamo aggiunto al nostro cartellone dell'"Angolo dei matematici" i due nuovi personaggi conosciuti: Eratostene e Christian Goldbach. Ecco i loro fumetti.

 

 

 

 

Eratostene e i numeri "d'oro"!

In matematica, abbiamo scoperto i multipli e i divisori dei numeri, ma abbiamo anche conosciuto dei tipi speciali di numeri che hanno come divisori solo 1 e sé stessi...sono i NUMERI PRIMI!

I numeri primi sono considerati dai matematici come dei "numeri d'oro" perché sono molto importanti ed unici, avendo questa particolare caratteristica.

Abbiamo prima di tutto provato ad individuare i numeri primi utilizzando il gioco di Pitagora che avevamo fatto lo scorso anno. Abbiamo usato dei sassolini o della pastina per costruire dei numeri rettangoli o quadrati. Prima pescavamo a caso un numero, poi prendevamo la quantità di sassi o pastina corrispondente e infine cercavamo di schierare i sassi o la pastina in modo da formare un rettangolo, con tutte le righe e le colonne uguali.

 

 

Se riuscivamo a realizzare un rettangolo o un quadrato, allora quel numero aveva dei divisori diversi oltre a 1 e sé stesso. Ad esempio, il numero 8, qui sotto, ha come divisori il 2 e il 4 (perché è fatto da 2 righe e 4 colonne), oltre all'1 e a sé stesso.

 

 

Oppure, il numero 100, come quello qui sotto, può essere disposto come un quadrato, quindi non è primo, perché ha sicuramente come divisore, oltre a 1 e 100, anche il 10 (infatti è fatto da 10 righe e 10 colonne).

 

 

 

 

 

Se invece non trovavamo nemmeno un modo per schierare sassolini o pastina per formare un rettangolo, allora quel numero era un numero primo, perché come divisori aveva soltanto 1 e sé stesso!

 

  

 

Potevamo continuare con questo metodo per trovare tutti i numeri primi, ma sarebbe stato troppo lungo e faticoso. La maestra Cristina allora ci ha raccontato di un matematico famoso che ha trovato un sistema per individuare facilmente e rapidamente tutti i numeri primi! Si chiamava Eratostene!

 

 

Eratostene era un matematico dell'antica Grecia. Era così saggio, che il re Tolomeo III° decise di affidargli il compito di dirigere la Biblioteca di Alessandria, il più importante centro culturale di allora, in cui si recavano tutte le persone del mondo per studiare e imparare.

Eratostene era davvero molto in gamba! Era addirittura riuscito a calcolare da solo, con i pochi e rudimentali mezzi che aveva a disposizione, la lunghezza della circonferenza della Terra. Solo attraverso le sue osservazioni e i suoi calcoli era arrivato vicinissimo al valore corretto, che oggi riusciamo facilmente a calcolare grazie a satelliti e strumentazioni scientifiche moderne. Era di certo molto intelligente!

 

 

Ma quale sistema trovò Eratostene per individuare facilmente i numeri primi? Il suo sistema viene chiamato "crivello", cioè setaccio. Come i cercatori d'oro usano i setacci per far passare la sabbia del fiume, anche in crivello di Eratostene fa passare tutti i numeri, solo che alcuni riescono a passare e a "cadere" come la sabbia, mentre altri rimangono sul setaccio, come le pepite d'oro. Sono i numeri "d'oro" per i matematici, cioè i numeri primi.

 

 

Su una scheda, avevamo una tabella come questa:

 

 

Con la penna, abbiamo tolto subito il numero 1. Esso non è primo, perché ha come divisore solo sé stesso!

Poi abbiamo proceduto in questo modo: abbiamo lasciato il 2 e tolto tutti i suoi multipli (che ovviamente non possono essere primi!); poi abbiamo lasciato il 3 e tolto tutti i suoi multipli; il 4 era già stato tolto perché era multiplo di 2; poi abbiamo lasciato il 5 e tolto tutti i suoi multipli; poi abbiamo fatto la stessa cosa con il 7, l'11, il 13 e tutti i numeri rimasti...

A quel punto, la nostra tabella aveva questo aspetto:

 

 

Ecco, in questo modo abbiamo trovato tutti i numeri primi da 0 a 100! E' stato proprio facile con questo sistema!

 

Il disco di Newton

Dopo aver fatto esperimenti e studiato il fenomeno della luce, abbiamo conosciuto lo scienziato Isaac Newton.

 

Isaac Newton era uno scienziato inglese del 1600. Da bambino iniziò molto presto ad appassionarsi alle scienze e all'astronomia. Diventò grande, studiò e si laureò, ma appena laureato in Inghilterra scoppiò un'epidemia di peste, una malattia mortale e molto contagiosa. Per evitare di prendere la peste, Newton si rifugiò nella sua casa di campagna, dove era nato. In tutto il tempo che rimase nella sua casa, Newton, per non annoiarsi, si occupò di studiare le scienze e fare degli esperimenti. In particolare, utilizzò un prisma per osservare che cosa succedeva alla luce che entrava da una fessura della sua finestra. Si accorse non solo che il prisma creava un arcobaleno, ma anche che con diversi tipi di prisma, la combinazione e l'ordine dei colori rimanevano sempre gli stessi! Capì che con il prisma la luce poteva essere scomposta in molti colori, perciò studiò il fenomeno ed elaborò delle teorie.

In particolare, una delle sue teorie diceva che la luce era fatta di particelle. Quando la sua teoria arrivò alle orecchie di Christiaan Huygens, un famosissimo fisico e scienziato olandese, egli lo rimproverò dicendo che si sbagliava, perché secondo lui la luce era fatta di onde, non particelle! Huygens era il più grande fisico d’Europa al tempo e Newton invece era solo un giovane laureato…dev’essere stato molto difficile sostenere questa teoria! Eppure Newton non cambiò idea e continuò a parlarne. Per diversi secoli non si poteva stabilire se avesse ragione Newton oppure Huygens. Ma nel 1900 alcune teorie scoprirono che…avevano ragione entrambi! La luce è fatta di minuscole particelle, chiamate fotoni, che però si muovono come se fossero delle onde!

Newton si occupò anche di studiare la gravità, cioè quella forza che fa cadere gli oggetti a terra e ci tiene ancorati sul pavimento, perché attrae tutto verso il centro del nostro pianeta.

 

Per tornare alla luce, pare che Newton abbia inventato una "macchina" speciale per mostrare che la luce non poteva essere solo scomposta, ma anche "ricomposta" a partire dai colori dell'arcobaleno. Colorò un disco con molti colori, lo montò su una struttura girevole a manovella e lo fece ruotare velocemente: il disco girando sembrava bianco, perché i colori, tutti mescolati insieme, formano proprio questo colore.

Anche la maestra Cristina ci ha mostrato l'esperimento di Newton in questo modo. Ha montato un pezzo di legno a forma di disco, colorato con i colori dello spettro luminoso, su un trapano. Quando ha azionato il trapano, i colori si mescolavano e il disco sembrava diventare bianco! Era quasi una magia (della scienza!)!!!

Visto che ora siamo diventati bravissimi ad usare il goniometro, abbiamo provato a realizzare anche noi il disco di Newton lavorando a coppie.
Prima di tutto abbiamo disegnato un cerchio su un foglio bianco. Poi abbiamo diviso l'angolo giro per un numero a nostra scelta entro il 12 (scelto tra i divisori di 360).
Ad esempio, alcuni hanno deciso di dividere il cerchio in 6 fette uguali e hanno fatto:

360 : 6 = 60°

Altri hanno scelto 12 fette:

360 : 12 = 30°

Altri ancora, hanno scelto di dividerlo in 8 fette:

360 : 8 = 45°

...e così via...

Dopo aver svolto la nostra divisione, abbiamo preso il goniometro e abbiamo utilizzato il numero risultato dalla nostra divisione per contare i gradi di ampiezza dei diversi angoli che formavano le fette del nostro disco. Abbiamo tracciato delle linee ed...ecco fatto!

Una volta disegnate le fette, dovevamo scegliere le giuste tinte per colorarle. Abbiamo scelto dei colori in sfumatura, la maestra ci ha aiutato a realizzare una gradazione di colori, come nell'arcobaleno. Chi aveva più fette ha dovuto utilizzare più sfumature, chi ne aveva meno, ha usato solo i colori principali.

 

Al termine della coloritura, abbiamo usato la gomma e la punta della matita per fare un foro al centro del disco. Abbiamo poi infilato la matita per realizzare una mini-trottola.

Ed infine abbiamo ruotato la trottola per ammirare l'effetto desiderato!

 

Quando la nostra trottola ruotava velocemente, il nostro disco colorato sembrava bianco!

Abbiamo proprio verificato l'esperimento di Newton con le nostre mani! E nel frattempo ci siamo esercitati con il goniometro e la geometria!