La congettura di Goldbach

Dopo aver conosciuto i numeri primi, la maestra Cristina ci ha proposto la storia di un matematico che, grazie ad essi, ha inventato un problema molto particolare!

Christian Goldbach era un matematico del 1700. Viveva in Germania ed era amico di un altro matematico che avevamo già conosciuto l'anno scorso: Leonhard Eulero (il matematico che...NON ha risolto il problema dei ponti di Königsberg...perché ha scoperto che questo è un problema IMPOSSIBILE!). Pensate: Goldbach era nato proprio nella città di Königsberg!

Ma torniamo al nostro Christian Goldbach! Egli si divertiva ad inventare problemi ed enigmi logici che poi risolveva. Ma un giorno ne inventò uno che...sembrava semplicissimo da risolvere, ma non riusciva proprio a dimostrare!

 

Un po' di tempo fa, quando abbiamo parlato dei problemi, la maestra Cristina ci ha detto che in matematica non è solo importante arrivare alla soluzione di un problema, ma anche dare una DIMOSTRAZIONE, cioè spiegare a tutti perché il risultato o la risposta che abbiamo dato sono quelli giusti! Dobbiamo cioè convincere gli altri di essere arrivati alla giusta soluzione.

E' per questo che quando facciamo i problemi in gruppo la maestra ci chiede sempre di motivare la nostra risposta o di dimostrarla con un disegno, uno schema, un ragionamento logico...

Ecco, il nostro Goldbach aveva trovato una soluzione che gli sembrava accettabile, che sembrava funzionare sempre... Però non aveva trovato la dimostrazione, cioè il ragionamento logico che facesse capire a tutti: "questa idea funziona"!

 

Triste e un po' confuso, Goldbach scrisse una lettera al suo amico Eulero, grande matematico del tempo, per farsi aiutare a trovare una dimostrazione accettabile al suo problema. In quella lettera scrisse l'enunciato (cioè il testo, la spiegazione) del suo problema:

  

“Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto

come la somma di due numeri primi.”

 

Eulero, come aveva già fatto Goldbach, fece alcuni tentativi e si accorse che questo enunciato sembrava vero, cioè funzionava tutte le volte che provava. Ma nemmeno lui riuscì a dare una dimostrazione che potesse convincere tutti i matematici della verità assoluta di questo problema!

In matematica, infatti, non basta fare dei tentativi. Anche se provo mille volte, c’è sempre la possibilità che riesca a trovare un numero per cui la regola non funzioni. Per dare una dimostrazione, occorre trovare una spiegazione che valga sempre, cioè che renda evidente che l’enunciato è valido, anche senza fare per forza dei tentativi.

 

Quando avevamo parlato dei problemi, avevamo detto che in matematica i problemi vengono suddivisi in 4 principali categorie:

 

 

Ecco, fino ad oggi nessun matematico è stato ancora in grado di dimostrare l'enunciato di Christian Goldbach. Perciò esso viene chiamato proprio “CONGETTURA di Goldbach”.

Nessuno finora è ancora riuscito a spiegare perché ogni numero pari maggiore di 2 (e questi numeri sono infiniti, perciò sarebbe impossibile controllarli  proprio tutti!) deve poter essere scritto come una somma di due numeri primi. Ma al tempo stesso nessuno finora è riuscito a trovare un numero pari maggiore di 2 che non sia la somma di due numeri primi!

E' proprio un BEL problema! Sicuramente molto curioso e interessante!
Ci è venuta voglia di provare a dimostrarlo...ma non siamo ancora dei veri matematici e non sappiamo come fare! Perciò la maestra Cristina ci ha proposto di provare soltanto a verificare che l'ipotesi fatta da Goldbach fosse vera, facendo dei tentativi.

Ci siamo organizzati a coppie e abbiamo provato a comporre i numeri pari maggiori di due con una somma di due numeri primi. Abbiamo provato, fin dove siamo riusciti ad arrivare! Ci siamo aiutati con lo schema del Crivello di Eratostene, per ricordarci i numeri primi da poter utilizzare. Ecco i nostri tentativi.

E' interessante notare che alcuni numeri possono essere composti in vari modi, utilizzando coppie di numeri primi diverse. Se si guardano le pagine di gruppi diversi, infatti, si nota che alcuni numeri sono stati composti in diverso modo.

Dopo questo lavoro, abbiamo aggiunto al nostro cartellone dell'"Angolo dei matematici" i due nuovi personaggi conosciuti: Eratostene e Christian Goldbach. Ecco i loro fumetti.